No es un problema de recordar contraseñas, sino, de borrado de cookies. Si le dices al navegador que recuerde tus contraseñas, simplemente te encontrarás la sesión igual de cerrada, pero, con la contraseña preparada para entrar con un click. Puede ser una solución.
Las cookies, en cambio, son pequeños archivos encriptados que guardan información privada relativa a la relación de tu pc con cada sitio web. No todas las webs guardan una cookie en tu pc, pero, Nevasport sí que lo hace y una de las cosas que guarda es, precisamente, el estado de tu sesión, es decir, si está abierta o cerrada en ese ordenador concreto.
Al acceder a la web de nevasport, ésta busca su cookie en tu pc para recordar la forma personalizada en que debe mostrarse en pantalla, siguiendo las indicaciones registradas en la cookie. Si nevasport no encuentra su cookie, entonces se muestra en su modo por defecto, que es como la vería cualquier persona no registrada.
Tendrás que investigar en las opciones de configuración de privacidad del navegador y comprobar si tienes activada alguna opción que borra de alguna manera las cookies. En el firefox, por ejemplo, si seleccionas que no se recuerde tu historial de navegación, tampoco almacenará cookies.
Sin embargo, no es normal que estas opciones se activen por su cuenta, por lo que, si no te imaginas por qué se activó, entonces estudia la posibilidad de que tengas un virus.
Un saludo